$k$ 次一般化斐波那契立方的大小

设 $k\geq2$。则 $k$ 次斐波那契立方 $\Gamma^{(k)}_{n}$ 为超立方体 $Q_{n}$ 中由不含 $k$ 个连续 $1$ 的顶点诱导的子图。$k=2$ 的情况对应经典斐波那契立方 $\Gamma_{n}$。存在三种计算 $\Gamma_{n}$ 大小的公式：迭代形式 $|E(\Gamma_{n})|=|E(\Gamma_{n-1})|+|E(\Gamma_{n-2})|+F_{n}$（Hsu，1993），卷积形式 $|E(\Gamma_{n})=\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}F_{i}F_{n-i+1}$（Klav\v{z}ar，2005），以及线性形式 $|E(\Gamma_{n})=\frac{nF_{n+1}+2(n+1)F_{n}}{5}$（Munarini 等，2001）。Belbachir 和 Ould-Mohamed（2020）研究了 $\Gamma^{(3)}_{n}$ 大小的迭代和卷积公式。最近，Mollard（2025）推导了 $k\geq2$ 时 $\Gamma^{(k)}_{n}$ 大小的迭代公式。本文给出 $\Gamma^{(k)}_{n}$ 大小的卷积形式和线性形式公式。具体地，我们以卷积 $k$ 次斐波那契数为参数得到 $|E(\Gamma^{(k)}_{n})|$ 的公式，并给出 $|E(\Gamma^{(k)}_{n})|$ 以 $k$ 个连续 $k$ 次斐波那契数的线性表达式的公式。