斐波那契序列$k$分段卷积数: 属性与推论
经典分析与常微分方程
2026-03-12 v2
摘要
与流密码相关的一种可能的数据加密方案涉及使用足够长的伪随机序列。为增加密码的强度，通常会额外使用线性移位算法（由线性递减序列如斐波那契数列及其推广生成）。两种此类推广包括斐波那契数列的卷积{Fn(s)}n=1∞和斐波那契数列的k分段{Φn,k}n=1∞（Φn,k=Fnk/Fk）。本文考虑斐波那契数列k分段的卷积{Φn,k(s)}n=1∞的进一步推广。这些数的定义关系为: Φn,k(1)=j=0∑n−1Φj+1,kΦn−j,k,Φn,k(s)=j=0∑n−1Φj+1,kΦn−j,k(s−1),s=2,3,...此外，Φn,1=Fn,Φn,1(s)=Fn(s)。本文建立了斐波那契数列k分段卷积的显式表示公式和一种类Binet公式:Φn,k(s)=5−s(Fk)−2s−1j=0∑s(−1)(k−1)j(jn+2s)(n−1n+s−1−j)Fk(n+2s−2j).还获得了若干推论，基于二阶 Chebyshev多项式的导数与它们自身的导数之间的联系，以及斐波那契数列k分段卷积与二阶 Chebyshev 多项式导数之间的联系，通过Lucas数Lk。注意到对于k=3,4,...和s=1,2,..，序列{Φn,k(s)}n=1∞不包含在OEIS encyclopedia中。
引用
@article{arxiv.2603.08636,
title = {Convolved Numbers of $k$-sections of the Fibonacci Sequence: Properties, Consequences},
author = {Vitaly M. Khamitov and Dmitriy Dmitrishin and Alexander Stokolos and Daniel Gray},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.08636},
year = {2026}
}