Zeckendorf分解的本福特性

Zeckendorf的一个优美定理指出，每个整数都可以唯一地表示为非连续斐波那契数$\{ F_i \}_{i = 1}^{\infty}$之和。集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福特定律，如果$S$中首位数字为$d$的元素的密度为$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$；换句话说，较小的首位数字更可能出现。我们证明，当$n\to\infty$时，对于随机选择的整数$m \in [0, F_{n+1})$，其Zeckendorf分解中斐波那契加数的首位数字分布几乎必然收敛到本福特定律。我们的结果更一般地成立，并且除了首位数字分布外，还可以得到关于具有密度的集合中值被取到的频率的类似定理。