通过外切 $m$-边形推广 Zeckendorf 定理

Zeckendorf 定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为不相邻 Fibonacci 数之和，其中 Fibonacci 数满足 $n\geq 3$ 时 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，且 $F_1=1$，$F_2=2$。这种分解中加项数量的分布收敛于高斯分布，加项之间的间隔收敛于几何衰减，且最长间隔的分布类似于有偏硬币最长连续正面的分布；这些结果在更一般的情况下也成立，但由于技术原因，以往的工作需要假设递推关系中的系数非负且首项为正。我们通过创建一个由使用外切 $m$-边形的几何构造产生的无限族整数序列（称为 $m$-边形序列）来推广这些结果。它们满足前 $m+1$ 个首项为零的递推关系，因此无法用现有技术处理。我们给出了合法分解的概念，并证明了该分解存在且唯一。随后，我们研究了分解中所用加项数量的分布，并证明其表现出高斯行为。间隔分布中存在几何衰减，无论是对于取自区间内所有整数的间隔，还是几乎必然地在区间内每个整数相关的个体间隔测度的分布中。最后，我们证明了加项间最长间隔的分布在其均值附近高度集中，其行为类似于掷硬币中最长连续正面的情况。