由非正线性递推产生的合法分解

泽肯多夫定理指出，任何正整数都可以唯一地写为不相邻斐波那契数之和；这一结果已推广到许多递推关系，特别是那些由首项为正的线性递推产生的关系。我们研究了由两个新序列产生的合法分解：$(s,b)$-Generacci序列和Fibonacci Quilt序列。二者均满足首项为零的递推关系，因此先前的结果和技术不适用。这些序列表现出截然不同的行为。我们证明$(s,b)$-Generacci序列导致唯一的合法分解，而对于Fibonacci Quilt序列，我们不仅具有非唯一的合法分解，而且在这种情况下合法分解的平均数量呈指数增长。另一个有趣的差异是，在$(s,b)$-Generacci情形下贪心算法总是导致合法分解，而在Fibonacci Quilt设定下贪心算法在（大约）93\%的时间内导致合法分解。在$(s,b)$-Generacci情形下，我们在加数个数上再次观察到高斯行为；对于Fibonacci Quilt序列，当我们限制为由修正贪心算法产生的分解时也同样如此。