广义 Zeckendorf 博弈的获胜策略

Zeckendorf 证明了每个正整数 $n$ 都可唯一写为不相邻 Fibonacci 数之和；类似结果对其他正线性递推序列也成立。这些合法分解可用于构造一个以固定整数 $n$ 开始的博弈，玩家轮流使用与给定递推关系相关的走法。该博弈最终终止于唯一的合法分解，且走最后一步的玩家获胜。对于 Fibonacci 博弈，玩家 $2$ 对所有 $n>2$ 都有获胜策略。我们给出非构造性证明：对于双人 $(c, k)$-nacci 博弈，对所有 $k$ 及足够大的 $n$，当 $c$ 为偶数时玩家 $1$ 有获胜策略，当 $c$ 为奇数时玩家 $2$ 有获胜策略。有趣的是，拥有获胜策略的玩家最早可在第 $c + 1$ 回合犯错，此时另一玩家获得获胜策略。此外，我们证明了对于玩家数 $p \ge c + 2$ 的 $(c, k)$-nacci 博弈，对任意 $n \ge 3c^2 + 6c + 3$ 均无玩家有获胜策略。在三人 $(1, 2)$-nacci 博弈的情形下，我们找到了更严格的下界 $n \ge 7$。随后我们将多玩家博弈的结果推广到多联盟博弈，展示了在某些特殊多联盟博弈情形下哪个联盟拥有获胜策略或何时不存在获胜策略。