非正线性递推产生的合法分解中的新行为

Zeckendorf 定理指出，每个正整数都有唯一的分解，表示为非相邻 Fibonacci 数之和。这一结果已推广到许多由整数正线性递推产生的序列 $\{a_n\}$，每个序列都有相应的合法分解概念。先前的工作证明，当递推中的首项系数为正时，$m \in [a_n, a_{n+1})$ 分解中的加数数量在 $n\to\infty$ 时趋于正态分布，且与每个 $m$ 相关的个体间隙测度收敛于几何随机变量。我们探讨了在两个特殊序列中移除这一假设后会发生什么。在其中一个序列中，我们恢复了所有先前的结果，包括唯一分解；而在另一个序列中，合法分解的数量呈指数增长，且合法分解的自然选择（贪心算法）仅在约 92.6\% 的情况下有效（尽管稍作修改后总是有效）。我们发现了这两个序列之间的联系，这解释了为什么加数数量的分布和加数之间的间隙在这两个例子中表现相同。在我们的研究过程中，我们发现了一种处理与特征多项式相关的多项式根的新视角。这使我们无需对其性质进行详细的技术分析（这曾极大地复杂化了该领域许多早期结果的证明），并能处理现有技术无法触及的新情况。