广义泽肯多夫分解中加项间隔的分布

泽肯多夫证明了任何整数都可以唯一地分解为非相邻斐波那契数 $F_n$ 之和。利用连分数，莱克凯尔克证明了对于 $m \in [F_n, F_{n+1})$，其加项的平均数量本质上为 $n/(\varphi^2 +1)$，其中 $\varphi$ 为黄金比例。米勒和王通过采用组合视角对此进行了推广，证明了对于任何正线性递推，在 $[G_n, G_{n+1})$ 中整数的分解加项数量收敛于高斯分布。我们证明了出现大于递推长度的间隔的概率以几何级数衰减，并且较小间隔的分布以一种可计算的方式依赖于递推的系数。这些结果既适用于对所有 $m \in [G_n, G_{n+1})$ 的平均，也几乎必然地适用于与单个 $m$ 相关的间隔测度。这些技术也可用于确定加项之间最长间隔的分布，我们证明其类似于投掷一枚有偏硬币时正面之间最长间隔的分布。这是一个关于均值强烈集中的双指数分布，其量级为 $\log n$，并具有依赖于递推的可计算常数。