广义 Zeckendorf 分解的 Benford 行为

我们证明了 Zeckendorf 分解与 Benford 定律之间的联系。回顾一下，若定义 Fibonacci 数为 $F_1 = 1, F_2 = 2$ 且 $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$，则每个正整数都可以唯一地写成该序列中非相邻元素之和；这被称为 Zeckendorf 分解，类似的唯一分解也存在于由形式为 $G_{n+1}=c_1G_n+\cdots+c_LG_{n+1-L}$ 的递推关系产生的序列中，其中 $c_i$ 为正且满足其他一些限制。此外，若集合 $S \subset \mathbb{Z}$ 中首位数字为 $d$ 的元素密度为 $\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$，则称该集合满足以 10 为底的 Benford 定律；换言之，较小的首位数字出现的概率更高。我们证明，当 $n\to\infty$ 时，对于在 $[0, G_{n+1})$ 中随机选取的整数 $m$，其广义 Zeckendorf 分解中加数的首位数字分布几乎必然收敛于 Benford 定律。我们的结果具有更广泛的适用性：在考虑具有密度的集合中的值在分解的加数中出现的频率时，可以得到关于首位数字分布的类似定理。