随机合并与分裂循环导致本福特定律
统计理论
2019-01-04 v3 统计理论
摘要
本福特定律(Benford's Law)预测，真实数据中最左侧数字的首位有效数字在全部可能的 1 到 9 个数字之间的比例大约如 LOG(1 + 1/digit) 所示，因此低位数字在首位出现的频率远高于高位数字。例如，数字 1 在随机数首位出现约 30.1%，而数字 9 仅出现约 4.6%。本文表明，一个足够大的相同量集合不断在微小随机合并（将两个随机选取值求和为一个值）与微小随机分裂（将一个随机选取值拆分为两个新值）之间交替的过程，在经过足够多次这样的循环后，会在数字上收敛到本福德比例。系统在多次循环后的统计趋势是约有 2/3 的乘法表达式有助于本福德行为（因为它们趋于对数正态分布），以及 1/3 的加法表达式不利于本福德行为（因为它们趋于正态分布），因此该过程本质上代表了加法与乘法之间的拉锯战。由于该过程遇到了所谓中心极限定理的阿喀琉斯之踵，即具有高阶数量级的偏态分布相加，加法不是很有效，而战争由乘法决定性获胜，从而导致本福德行为。选择要分裂的特定量的随机性，以及选择要合并的两个特定量的随机性，对收敛至关重要。因此不足为奇，分裂本身可以随机执行，例如通过来自 (0, 1) 上连续均匀分布的现实化，或确定性地通过任何固定分割比例例如 25% - 75%，并且本福特定律在任一情况下都会出现。
引用
@article{arxiv.1505.05235,
title = {Random Consolidations and Fragmentations Cycles Lead to Benford' Law},
author = {Alex Ely Kossovsky},
journal= {arXiv preprint arXiv:1505.05235},
year = {2019}
}
备注
arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1410.2174