关于 PLRS 分解方差的渐近行为

正线性递归序列的形式为 $H_{n+1} = c_1 H_n + \cdots + c_L H_{n+1-L}$，其中每个 $c_i \ge 0$ 且 $c_1 c_L > 0$，并带有适当选取的初始条件。存在合法分解的概念（粗略地说，给定序列中项的和，我们不能使用递推关系来对其进行约简），使得每个正整数都有使用序列中项的唯一合法分解；这推广了 Zeckendorf 分解，后者指出任何正整数都可以唯一地表示为不相邻 Fibonacci 数之和。先前的工作不仅证明了分解的存在性，还证明了 $m \in [H_n, H_{n+1})$ 的合法分解中的被加项数 $K_n(m)$ 收敛于高斯分布。利用部分分式和生成函数，容易证明均值和方差随 $n$ 线性增长：分别为 $a n + b + o(1)$ 和 $C n + d + o(1)$；困难在于证明 $a$ 和 $C$ 为正。先前的方法依赖于对与生成函数和特征多项式相关的多项式的精细分析，在代数上十分繁琐。我们引入了新的初等技巧来规避这些问题。关键思想是通过条件概率展开利用归纳法和自助法界来证明方差是无界的，从而 $C > 0$（均值通过简单的计数论证即可轻松处理）。