广义 Zeckendorf 分解间隙的中心极限定理

Zeckendorf 证明了每个整数都可以唯一地表示为不相邻 Fibonacci 数 $\{1,2,3,5,\dots\}$ 的和。这一结果已被推广到许多其他递推关系 $\{G_n\}$（具有其各自的合法分解概念），并证明了 $M \in [G_n, G_{n+1})$ 的加数个数的分布在 $n\to\infty$ 时收敛于高斯分布。我们证明，对于任意非负整数 $g$，在许多广义 Zeckendorf 分解中，大小为 $g$ 的间隙的平均数为 $C_\mu n+d_\mu+o(1)$，其中常数 $C_\mu > 0$ 和 $d_\mu$ 取决于 $g$ 和递推关系；大小为 $g$ 的间隙数量的方差类似地为 $C_\sigma n + d_\sigma + o(1)$，且 $C_\sigma > 0$；并且 $M\in[G_n,G_{n+1})$ 中大小为 $g$ 的间隙数量在 $n\to\infty$ 时收敛于高斯分布。证明是通过分析一个相关的二维递推完成的；我们证明了关于此类行为何时收敛于高斯分布的一般性结果，并重新推导了文献中的其他结果。