随机 Zeckendorf 博弈的高斯性探究

Zeckendorf 证明了任意正整数都有唯一分解为不相邻 Fibonacci 数之和的表示，其指标为 $F_1 = 1, F_2 = 2, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。受此结果启发，Baird、Epstein、Flint 与 Miller 定义了双人 Zeckendorf 博弈，两名玩家轮流对总是和为 $N$ 的 Fibonacci 数多重集进行操作。当无可行动作时博弈终止，最后执行动作的玩家获胜。值得注意的是，已有研究考察了随机博弈的设定：博弈通过均匀随机选取可用动作进行，并猜想当输入 $N \to \infty$ 时，随机博弈长度的分布收敛于高斯分布。我们证明了某些移动次数之和是常量，并给出了输入 $N$ 下最短博弈数目涉及 Catalan 数的下界。Baird 等人及 Cuzensa 等人的工作分别确定了给定输入 $N$ 下如何实现最短与最长的 Zeckendorf 博弈：我们证明对任意输入 $N$，可能博弈长度的范围构成自然数区间：最短与最长博弈长度之间的每个长度均可实现。我们推进了随机 Zeckendorf 博弈概率方面的研究。我们研究了输入 $N$ 上所有 Zeckendorf 博弈空间上的两种概率测度：均匀测度，以及在任意给定位置均匀随机选取动作所诱导的测度。在两种测度下，当极限 $N \to \infty$ 时，两名玩家获胜概率均为 $1/2$。我们还发现了固定输入 $N$ 的所有 Zeckendorf 博弈集合的自然划分，并在其上观察到当 $N \to \infty$ 时弱收敛于高斯分布。我们以诸多开放问题结束本文。