广义 Schreier 集的线性递推关系再探

对于 $p, q\in \mathbb{N}$，有限非空集合 $F$ 若满足 $q\min F\ge p|F|$ (或 $q\min F = p|F|$)，则称其为 $(p,q)$-Schreier (或最大 $(p,q)$-Schreier)。对于 $n\in \mathbb{N}$，记 $$\mathcal{S}^{p/q}_{n}\ ::=\ |\{F\subset\{1, 2, \ldots, n\}\,:\, q\min F\ge p|F|\mbox{ and }n\in F\}|.$$ 使用容斥原理，Beanland 等人证明了递推 $$|\mathcal{S}^{p/q}_{n}|\ =\ \sum_{k=1}^q(-1)^{k+1}\binom{q}{k}|\mathcal{S}^{p/q}_{n-k}| + |\mathcal{S}^{p/q}_{n-(p+q)}|.$$ 我们证明 $(|\mathcal{S}^{p/q}_n|)_{n=1}^\infty$ 是一个周期取自 Padovan 类似序列的子序列，这些序列满足简单递推关系。作为应用，我们获得了上述线性递推的另一种证明。此外，类似结果也适用于计数最大 $(p,q)$-Schreier 集的序列 $(|\mathcal{M}^{p/q}_{n}|)_{n=1}^\infty$。我们以讨论 $(|\mathcal{S}^{p/q}_{n}|)_{n=1}^\infty$ 与 $(|\mathcal{M}^{p/q}_{n}|)_{n=1}^\infty$ 之间的关系结束。