在 $\mathbb{R}^3$ 中用直线穿透紧凸集的无穷 $(p,q)$-定理不成立
组合数学
2025-09-12 v2 计算几何
摘要
涉及两个集合族 和 的无穷 -定理，或称 -定理，表述为：如果在 的每个无穷子集中，都有 个集合被 中的某个集合相交，那么存在一个有限集 ，使得对于每个 ，都存在一个 满足 。我们通过构造一个紧凸集族 ，证明了在 中用直线穿透紧凸集不存在 -定理，该集族没有有限的直线横截，但对于任意 ， 的每个无穷子集都包含 个被一条直线穿透的集合。
引用
@article{arxiv.2509.06731,
title = {No Infinite $(p,q)$-Theorem for Piercing Compact Convex Sets with Lines in $\mathbb{R}^3$},
author = {Sutanoya Chakraborty and Arijit Ghosh},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.06731},
year = {2025}
}