平面连通集族中的线横截

我们证明，若平面上一族紧连通集具有如下性质：其中任意三个成员都被某条直线相交，则存在三条直线相交该族中的所有集合。这回答了 Eckhoff 于 1993 年提出的一个问题，他曾证明在相同条件下存在四条直线相交所有集合。事实上，我们在对该集合的较弱条件下证明了此结果的一个彩色版本。平面上三个集合 $A,B,C$ 被称为一个{\em 紧三元组(tight triple)}，如果 $\textrm{conv}(A\cup B)\cap \textrm{conv}(A\cup C)\cap \textrm{conv}(B\cap C)\neq \emptyset$。该概念首先由 Holmsen 引入，他证明了若 $\mathcal{F}$ 是平面上一族紧凸集，其中每三个集合构成一个紧三元组，则存在一条直线相交 $\frac{1}{8}|\mathcal{F}|$ 个 $\mathcal{F}$ 的成员。此处我们证明，若 $\mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_6$ 是平面上的紧连通集族，使得从三个不同族 $\mathcal{F}_i$ 中任取三个集合均构成一个紧三元组，则存在 $1\le j\le 6$ 以及三条直线相交 $\mathcal{F}_j$ 的每个成员。特别地，这将 Holmsen 结果中的 $\frac{1}{8}$ 改进为 $\frac{1}{3}$。