凸集族的拓扑横截

设$\mathcal F$是$\mathbb R^d$中一族紧凸集。如果同调上，$\mathcal F$的横截$m$平面与$\mathbb R^{m+k}$中包含一个固定$\rho$平面的$m$平面一样多，则称$\mathcal F$具有指数为$(m,k)$的拓扑$\rho$横截（$\rho<m$，$0<k\leq d-m$）。显然，如果$\mathcal F$有一个$\rho$横截平面，那么对于$\rho<m$和$k\leq d-m$，$\mathcal F$具有指数为$(m,k)$的拓扑$\rho$横截。反之一般不成立。我们证明，对于$\mathbb R^d$中由$\rho+k+1$个紧凸集组成的族$\mathcal F$，指数为$(m,k)$的拓扑$\rho$横截意味着一个普通的$\rho$横截。我们利用这一结果，结合Schubert上同调类的乘法公式、Grassmann流形的Lusternik-Schnirelmann范畴以及Bárány和Lovász提出的彩色Helly定理的不同版本，得到了一些几何推论。