关于凸集族的深度

我们提出了一个关于 $\mathbb{R}^d$ 中有限凸集族 $\mathcal{F}$ 的深度概念，称为 $\text{dep}_\mathcal{F}$。我们首先表明 $\text{dep}_\mathcal{F}$ 满足深度度量的一些预期性质，且该定义与 J. Tukey 提出的深度概念密切相关。我们证明了 Tukey 深度的某些性质可推广至 $\text{dep}_\mathcal{F}$，并指出了若干关键差异。随后我们关注以下中心点型问题：在 $\mathcal{F}$ 族为 $k$-相交的假设下，我们能保证的最佳深度 $\alpha_{d,k}$ 是多少？我们展示了该问题与关于击中集的纯组合问题之间的关键联系。这种关系在两个方向上均有用。一方面，对于接近 $d$ 的 $k$ 值，组合解释给出了 $k$ 的良好界限。另一方面，对于较低的 $k$ 值，我们可以使用经典的 Rado 中心点定理获得具有独立意义的组合结果。对于中间的 $k$ 值，我们提出了一个概率框架来改善界限，并展示了其在 $k\approx d/2$ 情况下的应用。这些结果可被视为 Helly 定理与 Rado 中心点定理之间的插值。作为这些结果的应用，我们找到了关于分数超平面横截的 Helly 型定理。我们还给出了 A. Holmsen 的一个横截结果的替代且更简单的证明。