伪凸性的一种新的离散理论

近来，可通过伪半平面与有限点集的交来定义的几何超图已被以纯组合方式给出。这导致将先前关于点与半平面的结果推广至伪半平面，包括多色着色以及关于伪半平面的离散 Helly 型定理。此处我们延续这一研究路线，并引入此类伪半平面超图的凸集概念。在此背景下，我们证明了若干对应于经典凸性结论的结果，即 Helly 定理、Carathéodory 定理、Kirchberger 定理、分离定理、Radon 定理以及 Cup-Cap 定理。这些结果蕴含了利用伪半平面定义的平面上伪凸集的相应结论。结果表明，我们的多数结果亦可借助定向拟阵与拓扑仿射平面（TAPs）证明，但我们的方法与二者均不同。相较于定向拟阵，我们的理论基于顶点集的线性序，这使得我们的定义与证明颇为不同且或许更为初等。相较于作为连续对象的 TAPs，我们的证明是纯组合的且风格上亦大相径庭。总之，我们相信这一新方法能增进我们对这些基础凸性结论的理解。