相交族多样性的一个推广

设 $\mathcal{F}\subseteq \binom{[n]}{r}$ 为一个集合的相交族，令 $\Delta(\mathcal{F})$ 为 $\mathcal{F}$ 中的最大度，即包含某个固定顶点的 $\mathcal{F}$ 的边数最大值。$\mathcal{F}$ 的\emph{多样性}定义为 $d(\mathcal{F}) := |\mathcal{F}| - \Delta(\mathcal{F})$。多样性可视为与 Erd\H os-Ko-Rado 定理给出的“平凡”最大尺寸相交族之间距离的一种度量。事实上，该族的多重性为 $0$。此外，Hilton-Milner 型最大非平凡相交族的多重性为 $1$。已知只要 $n$ 足够大，相交族 $\mathcal{F}\subseteq \binom{[n]}{r}$ 的最大可能多样性为 $\binom{n-3}{r-2}$。我们引入一种称为 $\mathcal{F}$ 的\emph{$C$-加权多样性}的推广，定义为 $d_C(\mathcal{F}) := |\mathcal{F}| - C \cdot \Delta(\mathcal{F})$。我们确定了相交族 $\mathcal{F} \subseteq \binom{[n]}{r}$ 的 $d_C(\mathcal{F})$ 的最大值，并对 $C\in \left[0,\frac{7}{3}\right)$ 刻画了极大族，同时给出了对所有 $C$ 的一般界。我们的结果在 $n$ 较大时蕴含了 Frankl 和 Wang 近期关于一个相关类多样性度量的猜想。我们的主要技术是 Frankl 的 Delta-系统方法的一个变体。