关于 Goodman--Pollack 横截问题的着色推广

针对 Goodman 和 Pollack 关于 $\mathbb{F}^d$ 中凸集族存在 $\mathbb{F}$-仿射 $k$ 维横截的问题（其中 $0 \le k \le d - 1$ 为整数，$\mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ 为域），我们给出了着色的，更一般地，拟阵的解。我们的结果统一了若干经典与近期定理。在 $k=0$ 的情形下，我们恢复了 Lovász 的着色 Helly 定理，以及 Kalai 和 Meshulam 给出的拟阵推广。在对立极端情形 $k=d-1$ 下，我们得到了 Goodman-Pollack-Wenger 定理的 Holmsen 着色与拟阵推广。此外，我们推广了 McGinnis 与作者近期给出的 Goodman-Pollack 问题的非着色解。作为主要应用，我们得到了一个拟阵与着色的 Dol'nikov 型横截定理。我们的方法是拓扑的。我们引入了拟阵并，将其定义为拟阵复形的面偏序集上图的同伦余极限，并推导了其连通性的估计。证明还依赖于对从 Stiefel 流形到球面的等变映射不存在结果的改造。