$d$-可缩与 $d$-Leray 复形的彩色 Helly 定理的扩展

我们给出了 $d$-可缩与 $d$-Leray 复形的彩色 Helly 定理的扩展，为 Kalai 与 Meshulam 提出的该定理的拟阵版本、由 Arocha、Bárány、Bracho、Fabila 与 Montejano 引入的“非常彩色”Helly 定理，以及由 Montejano 与 Karasev 证明的“半相交”彩色 Helly 定理提供了一种统一的推广。作为应用，我们得到了 Tverberg 定理的如下扩展：设 $A$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的有限点集，且 $|A|>(r-1)(d+1)$。则存在 $A$ 的一个划分 $A_1,\ldots,A_r$ 以及大小为 $(r-1)(d+1)$ 的子集 $B\subset A$，使得对于所有 $p\in A\setminus B$，均有 $\cap_{i=1}^r \text{conv}( (B\cup\{p\})\cap A_i)\neq\emptyset$。也就是说，我们得到了 $A$ 的一个 $r$ 部分划分，即使在从 $A\setminus B$ 中移除除任意一点外的所有点后，该划分仍然是 Tverberg 划分。