关于 Schreier 型集合与 Turán 图的一种修正之间的关系

最近，Schreier 型集合与 Turán 图之间的一种关系被发现。在本注记中，我们给出一个组合证明，并得到该关系的一个推广。具体地，对于 $p, q\ge 1$，令 $$\mathcal{A}_q := \{F\subset\mathbb{N}: |F| = 1 \mbox{ 或 }F\mbox{ 是公差为 } q \mbox{ 的等差数列}\}$$ 且 $$Sr(n, p, q)\ :=\ \#\{F\subset \{1, \ldots, n\}\,:\, p\min F\ge |F|\mbox{ 且 }F\in \mathcal{A}_q\}.$$ 我们证明 $$Sr(n, p, q) \ =\ T(n+1, pq+1, q),$$ 其中 $T(\cdot, \cdot, \cdot)$ 是一个 $n$ 顶点图的边数，该图是 Turán 图的一种修正。我们还证明了 $Sr(n,p,q)$ 是某些序列的部分和。