关于完全 $4$-图的图兰数

图兰数 $T(n,\alpha+1,r)$ 是 $n$ 个顶点 $r$-图的最小边数，其独立数不超过 $\alpha$。对每个 $r\geq 2$，存在 $t_*(r)$ 使得当 $\alpha / r \to\infty$ 且 $n / \alpha \to\infty$ 时，$T(n,\alpha+1,r) = t_*(r) \: n^r \: \alpha^{1-r} \: (1+o(1))$。已知 $t_*(2) = 1/2$，而 $t_*(3)$ 的猜想值为 $2/3$。我们证明 $t_*(4) < 0.706335\:$。