构造紧致 Turán 系统的若干方法

对于正整数 $n\ge s> r$，Turán 函数 $T(n,s,r)$ 是指在 n 个顶点的情况下，使得每个长度为 s 的顶点集合至少包含一条边的 r 图的最大边数。同时，定义 Turán 密度 $t(s,r)$ 为 $T(n,s,r)/ {n\choose r}$ 当 $n\to\infty$ 的极限。对这些参数的估计问题自 1941 年 Turán 提出后引发了广泛关注。一个平凡的下界是 $t(s,r)\ge 1/{s\choose s-r}$。在 1990 年代初，de Caen 猜测 $r\cdot t(r+1,r)\to\infty$ 当 $r\to\infty$，并提供了 500 加元的奖金来解决此问题。我们通过表明对于每一个整数 $R\ge1$ 都存在 $\mu_R$（实际上 $\mu_R$ 可以取为 $(1+o(1))\, R\ln R$）使得 $t(r+R,r)\le (\mu_R+o(1))/ {r+R\choose R}$ 当 $r\to\infty$，即平凡下界在每个 $R$ 处都紧致到乘法常数 $\mu_R$。