整数线性递归序列项的$S$-部分

设$S = \{q_1, \ldots , q_s\}$是一个有限非空的不同素数集合。对于非零整数$m$，将$m$写为$m = q_1^{r_1} \ldots q_s^{r_s} M$，其中$r_1, \ldots , r_s$是非负整数，$M$是与$q_1 \ldots q_s$互素的整数。我们定义$m$的$S$-部分$[m]_S$为$[m]_S := q_1^{r_1} \ldots q_s^{r_s}$。设$(u_n)_{n \ge 0}$是一个整数线性递归序列。在某些必要条件下，我们证明对于每个$\varepsilon > 0$，存在整数$n_0$使得当$n > n_0$时，$[u_n]_S \leq |u_n|^{\varepsilon}$成立。我们的证明是非有效的，即没有给出$n_0$的显式值。在$(u_n)_{n \ge 0}$的各种假设下，我们还给出了$[u_n]_S$的有效但较弱的上界，形式为$|u_n|^{1 -c}$，其中$c$为正且仅依赖于$(u_n)_{n \ge 0}$和$S$。