b 进制数系中某些数的线性无关性

设 $(i,j)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}_{\geq2}$,且 $S_{i,j}$ 为包含某个等差数列中所有素数的正整数无限子集。本文中,我们证明数 $$1, \quad \sum_{n\in S_{i,j}}^{}\frac{a_{i,j}(n)}{b^{in^j}},\quad (i,j)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}_{\geq2}$$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的线性无关性,其中 $b\geq2$ 为整数,$a_{i,j}(n)$ 为 $S_{i,j}$ 上的有界非零整值函数。此外,我们还建立了 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}_{\geq2}$ 的子集 $\mathcal{A}$ 的一个充要条件,使得对任意给定的正整数无限子集 $T_{i,j}$,数 $$1, \quad \sum_{n\in T_{i,j}}^{}\frac{a_{i,j}(n)}{b^{in^j}},\quad (i,j)\in \mathcal{A}$$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。我们的定理推广了 V. Kumar 的一个结果。