关于 Baker 一个问题的推广

Baker 提出一个开放问题：对于周期为 $q$ 的非平凡狄利克雷特征 $\chi$，数 $L(1, \chi)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是否线性无关。已知最佳结果由 Baker、Birch 与 Wirsing 给出，其在 $q$ 与 $\varphi(q)$ 互素时肯定了这一点。本文中，我们将他们的结果推广到任意模族。更确切地说，对正整数 $q$，令 $X_q$ 表示当 $\chi$ 取遍周期为 $q$ 的非平凡狄利克雷特征时所有 $L(1,\chi)$ 值的集合。则对任意有限个两两互素自然数 $q_i, 1\le i \le \ell$ 且 $(q_1 \cdots q_{\ell}, ~\varphi(q_1)\cdots \varphi(q_{\ell}))=1$，我们证明集合 $X_{q_1} \cup \cdots \cup X_{q_l}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。在此过程中，我们还推广了 Okada 关于余切值在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关的结果，以及 Murty-Murty 关于此类 $L(1, \chi)$ 值在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上线性无关的结果。最后，我们对具有不同素数周期 $p_i$（$1\le i \le \ell$ 且 $(p_1 \cdots p_{\ell}, ~ \varphi( p_1\cdots p_{\ell}) )= 1$）的 Erd"{o}sian 函数的此类 $L$ 值证明了 $\mathbb{Q}$ 线性无关性。