Artin L-函数的独立性

设 $K/\mathbb Q$ 为有限 Galois 扩张。令 $\chi_1,\ldots,\chi_r$ 为 Galois 群的 $r\geq 1$ 个互异特征标，其伴随的 Artin L-函数为 $L(s,\chi_1),\ldots, L(s,\chi_r)$。令 $m\geq 0$。我们证明导数 $L^{(k)}(s,\chi_j)$，$1\leq j\leq r$，$0\leq k\leq m$，在阶 $<1$ 的亚纯函数域上线性无关。由此推得对应于不可约特征标的 L-函数在阶 $<1$ 的亚纯函数域上代数无关。