关于全纯Artin L-函数的半群环

设 $K/\mathbb Q$ 为有限Galois扩张，设 $\chi_1,\ldots,\chi_r$ 为Galois群 $G:=Gal(K/\mathbb Q)$ 的不可约特征标。设 $f_1:=L(s,\chi_1),\ldots,f_r:=L(s,\chi_r)$ 为它们对应的Artin L-函数。对于 $s_0\in \mathbb C\setminus\{1\}$，我们记 $Hol(s_0)$ 为在 $s_0$ 处全纯的Artin $L$-函数半群。设 $\mathbb F$ 为一个满足 $\mathbb C \subseteq \mathbb F \subseteq \mathcal M_{<1}:=$ 阶 $<1$ 的亚纯函数域的域。我们注意到半群环 $\mathbb F[Hol(s_0)]$ 同构于环面环 $\mathbb F[H(s_0)]\subseteq \mathbb F[x_1,\ldots,x_r]$，其中 $H(s_0)$ 是 $\mathbb N^r$ 的仿射子半群，由至少 $r$ 个元素极小生成；当环面理想 $I_{H(s_0)}=(0)$ 时，我们描述了 $\mathbb F[H(s_0)]$。此外，当 $f_1,\ldots,f_r$ 在 $s_0$ 处仅有单零点和单极点时，我们描述了 $\mathbb F[H(s_0)]$ 与 $I_{H(s_0)}$。