尊重伽罗瓦自同构的有限群表示矩阵

给定有限群 $H$、阶为 $r$ 的 $H$ 的自同构 $\tau$、特征零的域的伽罗瓦扩张 $L/K$，其伽罗瓦群为阶 $r$ 的循环群 $\langle\sigma\rangle$，以及绝对不可约表示 $\rho\colon H\to\operatorname{\sf GL}(n,L)$，使得 $\tau$ 在 $\rho$ 的特征标上的作用与 $\sigma$ 相同。则以下两者等价：$\bullet$ $\rho$ 等价于表示 $\rho'\colon H\to\operatorname{\sf GL}(n,L)$，使得 $\sigma$ 在矩阵元素上的作用对应于 $\tau$ 在 $H$ 上的作用；且 $\bullet$ 诱导表示 $\operatorname{\sf ind}_{H,H\rtimes\langle\tau\rangle}(\rho)$ 的 Schur 指数为 1，即它相似于定义在 $K$ 上的表示。作为例子，我们讨论了 $A_5$ 在 $\mathbb{Q}[\sqrt5]$ 上的三维不可约表示，以及 $A_7$ 的双覆盖在 $\mathbb{Q}[\sqrt{-7}]$ 上的四维不可约表示。