与Thue--Morse序列沿幂次相关的级数的线性无关性

Thue--Morse序列 $\{t(n)\}_{n\geqslant 1}$ 是正整数 $n$ 的二进制展开中1的个数的奇偶性的指示函数，其中若 $n$ 的二进制展开中有奇数（分别地，偶数）个1，则 $t(n)=1$（分别地，$=0$）。在本文中，我们推广了 E.~Miyanohara 的一个近期结果，证明了对于固定的 Pisot 或 Salem 数 $\beta>\sqrt{\varphi}=1.272019649\ldots$，数集 $$1,\quad \sum_{n\geqslant 1}\frac{t(n)}{\beta^{n}},\quad \sum_{n\geqslant 1}\frac{t(n^2)}{\beta^{n}},\quad \dots, \quad \sum_{n\geqslant 1}\frac{t(n^k)}{\beta^{n}},\quad \dots$$ 在域 $\mathbb{Q}(\beta)$ 上是线性无关的，其中 $\varphi:=(1+\sqrt{5})/2$ 是黄金比例。我们的结果意味着，对于任意 $k\geqslant 1$ 以及任意不全为零的 $a_1,a_2,\ldots,a_k\in\mathbb{Q}(\beta)$，序列 $\{a_1t(n)+a_2t(n^2)+\cdots+a_kt(n^k)\}_{n\geqslant 1}$ 不能是最终周期的。