图埃-莫尔斯序列沿皮亚特茨基-夏皮罗序列的正态性, II

我们证明了由 $\lfloor n^c\rfloor$ 索引的子序列上的图埃-莫尔斯序列 $\mathbf t$ 是正态的,其中 $1<c<3/2$。也就是说,对于该范围内的 $c$ 以及每个 $\omega\in\{0,1\}^L$(其中 $L\geq 1$),$\omega$ 作为序列 $n\mapsto \mathbf t_{\lfloor n^c\rfloor}$ 的子词(连续有限子序列)出现的集合具有渐近密度 $2^{-L}$。这改进了第二作者近期处理 $1<c<4/3$ 情形的结果。特别地,该结果表明对于 $1<c<3/2$,序列 $n\mapsto \mathbf t_{\lfloor n^c\rfloor}$ 以其两个值各以渐近密度 $1/2$ 出现,这改进了 Mauduit 和 Rivat 得到的界 $c<1.4$(不过他们是在 $q$-乘性函数更一般的情形下得到该界)以及第二作者得到的界 $c\leq 1.42$。在证明主定理的过程中,我们证明了 $2/3$ 是图埃-莫尔斯序列的一个可接受的分布水平,即它对每个指数 $\eta<2/3$ 满足 Bombieri--Vinogradov 型定理。这改进了 Fouvry 和 Mauduit 得到的指数 $0.5924$ 的结果。此外,底层定理蕴含每个有限词 $\omega\in\{0,1\}^L$ 都作为 $\mathbf t$ 的算术子序列出现。