Piatetski-Shapiro 序列模 m 的随机与非随机性质

我们研究 Piatetski-Shapiro 序列 $(\lfloor n^c\rfloor)_n$ 模 $m$，其中 $c>1$ 为非整数且 $m$ 为正整数，我们特别关注这些序列中的子词出现情况。我们证明每个长度为 $k < c + 1$ 的块 $\in\{0,1\}^k$ 作为子词以频率 $2^{-k}$ 出现，而总存在不出现的块。特别地，这些序列不是正规的。对于 $1<c<2$，我们从上方和下方估计子词的数量，得出我们的序列是确定性的且非形态性的。最后，利用 Daboussi-K\'{a}tai 判据，我们证明序列 $\lfloor n^c\rfloor$ 模 $m$ 渐近正交于有界于 $1$ 且均值为 $0$ 的乘法函数。