图厄–莫尔斯序列的分布层级

复值序列 $b$ 的分布层级衡量“$b$ 在等差数列 $nd+a$ 上的表现优劣”。判定 $\theta$ 是否为 $b$ 的分布层级，需对 $d\leq D$ 求和某一误差，其中 $D$ 依赖于 $\theta$；该误差由沿 $nd+a$ 的 $b$ 的有限和与和的期望值比较给出。我们证明图厄–莫尔斯序列具有分布层级 $1$，这本质上是最佳可能的。更确切地说，该序列给出了首批满足对每个指数 $\theta<1$ 的 Bombieri–Vinogradov 型定理的非平凡例子之一。特别地，此结果改进了 M"ullner 与作者所得的 $2/3$ 分布层级。作为我们方法的应用，我们证明由 $\lfloor n^c\rfloor$ 索引的图厄–莫尔斯子序列（其中 $1<c<2$）是简单正态的。即，在该子序列中两个符号各自以渐近频率 $1/2$ 出现。此结果改进了 M"ullner 与作者所得的 $1<c<3/2$ 范围，并弥补了 Mauduit 与 Rivat 证明（特别地）图厄–莫尔斯序列在平方数处为简单正态时所出现的空隙。在证明中，我们将两个问题都化为对图厄–莫尔斯序列某一 Gowers 一致范数的估计，类似于 Konieczny（2017）所给者。