非平衡卷积的分布水平

我们证明，若一个本质上任意的、支撑于含 $x$ 个整数的区间上的序列，与一个支撑于含 $\exp((\log x)^{\varepsilon})$ 个整数的区间上的微小 Siegel-Walfisz 型序列做卷积，则所得乘法卷积在弱意义下具有分布水平 $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$（当 $x$ 趋于无穷时）。该离散估计对以下方面有许多推论：对任意整数 $k \geq 1$，第 $k$ 个除数函数对模 $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$ 的分布；恰由两个素数之积的数对大模的算术级数中的分布；水平为 $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$ 的筛权对大到 $x^{1 - \varepsilon}$ 的模的分布；以及对几乎所有大小为 $x^{1 - \varepsilon}$ 的模 $q$ 的 Brun-Titchmarsh 定理，将该范围内长期存在的常数 $4$ 降低。我们的结果改进并受 Green 早期工作（及 Granville-Shao 后续工作）启发，后者关注有界乘性函数在算术级数中到大模的分布。如同这些先前工作，主要技术成分是 Bettin-Chandee 关于 Kloosterman 分数三线性型的近期估计，以及 Duke-Friedlander-Iwaniec 关于 Kloosterman 分数双线性型的估计。