I:部分固定模和非平衡卷积的三线性 Kloosterman 分数

本文改进了 Fouvry 和 Radziwiłl 关于非平衡卷积的结果。特别是，我们发现如果 $(\alpha_m)$ 和 $(\beta_n)$ 是分别支持于 $m\sim M$ 和 $n\sim M$ 的序列，其中 $\beta$ 对于小模来说是均匀分布的，则\n\begin{gather*}\sum_{q\sim Q}\left|\mathop{\sum\sum}_{\substack{n\sim N,m\sim M \\ mn\equiv a\pmod q}}\alpha_m\beta_n-\frac{1}{\phi(q)}\mathop{\sum\sum}_{\substack{n\sim N,m\sim M \\ (mn,q)=1}}\alpha_m\beta_n\right|\ll\frac{X}{\log^A X}, \end{gather*}\n只要 $\exp((\log x)^{\varepsilon}) \leq N \leq Q^{-11/12} X^{17/36-\varepsilon}$ 且 $Q\leq X^{1/2+1/66-\delta}$，以及在 $Q\leq X^{\frac{45}{89}-\epsilon}$ 时 $N$ 的更宽范围。前者扩大了 $N$ 的可接受范围，后者改进了 $Q$ 的范围。为证明这些新边界，我们改进了 Bettin 和 Chandee 对分母具有固定因子情况下的三线性 Kloosterman 分数形式著名结果。