等差数列中素数上的 Kloosterman 和之和

对于素数 $q$、$X \geq 1$ 以及互素的 $u,v \in \mathbb{N}$，我们估计和式 \begin{equation*} \sum_{\substack{p \leq X \substack p \equiv u \hspace{-0.25cm} \mod{v} p \text{ prime}}} \text{Kl}_2(p;q), \end{equation*} 其中 $\text{Kl}_2(p;q)$ 表示模为 $q$ 的归一化 Kloosterman 和。这是 Blomer、Fouvry、Kowalski、Michel 和 Milićević 近期关于短区间中素数上 Kloosterman 和之和相消定理的一个稀疏类比。我们使用受 Fouvry、Kowalski 和 Michel 启发的优化论证。我们的论证比较了涉及 Kloosterman 和的双线性形式的三种不同界。该方法的首个输入是我们利用 Kiral、Petrow 和 Young 的振荡积分一致渐近性所证明的双线性界。与和对所有素数求和的情况相反，我们利用了由 Voronoi 型求和产生的平稳相积分和上的相消。第二和第三个输入是 Fouvry-Kowalski-Michel 以及 Kowalski-Michel-Sawin 给出的 Kloosterman 和的深层双线性界。