与 beta 展开相关的实数的算术性质

本文的主要目的是研究值 $\sum_{m=0}^{\infty} \beta^{-w(m)}$ 的算术性质，其中 $\beta$ 是固定的 Pisot 数或 Salem 数，$w(m)$ ($m=0,1,\ldots$) 是互不相同的非负整数序列，且对于所有充分大的 $m$ 满足 $w(m+1)>w(m)$。我们首先给出了此类值的代数无关性判据。我们的判据适用于满足 $\lim_{m\to\infty}w(m+1)/w(m)=1$ 的某些序列 $w(m)$ ($m=0,1,\ldots$)。例如，我们证明了两个数 $$\sum_{m=1}^{\infty}\beta^{-\lfloor \varphi(1,0;m)\rfloor}, \sum_{m=3}^{\infty}\beta^{-\lfloor \varphi(0,1;m)\rfloor}$$ 是代数无关的，其中 $\varphi(1,0;m)=m^{\log m}$ 且 $\varphi(0,1;m)=m^{\log\log m}$。此外，我们还给出了实数线性无关性的判据。我们的判据适用于值 $\sum_{m=0}^{\infty}\beta^{-\lfloor m^\rho\rfloor}$，其中 $\beta$ 是 Pisot 数或 Salem 数，$\rho$ 是大于 1 的实数。