环面上由良好整数序列生成的测度

设$S= (s_1<s_2<\dots)$为严格递增的正整数序列,并记$\mathbf{e}(\beta)=\mathrm{e}^{2\pi i \beta}$。若对每个实数$\alpha$,极限$\lim_N \frac1N\sum_{n\le N} \mathbf{e}(s_n\alpha)$存在,则称$S$为良好序列。由Riesz表示定理,序列$S$是良好的当且仅当对每个实数$\alpha$,序列$(s_n\alpha)$模1具有渐近分布。良好序列的另一刻画源于谱定理:序列$S$是良好的当且仅当在任何保概率测度系统$(X,\mathbf{m},T)$中,对$f\in L^2(X)$,极限$\lim_N \frac1N\sum_{n\le N}f\left(T^{s_n}x\right)$在$L^2$范数下存在。在这三种良好集的刻画中,关于极限测度的刻画对我们最为适用,我们感兴趣于弄清环面上的极限测度$\mu_{S,\alpha}= \lim_N\frac1N\sum_{n\le N} \delta_{s_n\alpha}$可能是什么。在这篇该主题的首篇论文中,我们研究单个无理$\alpha$的情形。我们证明若$S$是良好集,则对每个无理$\alpha$,极限测度$\mu_{S,\alpha}$必为连续的Borel概率测度。利用随机方法,我们证明极限测度$\mu_{S,\alpha}$可以是环面上关于Haar-Lebesgue概率测度绝对连续的任意测度。另一方面,若$\nu$为支撑在Cantor集上的均匀概率测度,则存在某些无理$\alpha$,使得对任何良好序列$S$都不能有极限测度$\mu_{S,\alpha}$等于$\nu$。我们留下一个开放问题:对环面上任意连续Borel概率测度$\nu$,是否存在无理$\alpha$与良好序列$S$使得$\mu_{S,\alpha}=\nu$。