序列的幂与遍历平均的收敛性

如果一个整数序列 $(s_n)$ 对每个可逆保测系统 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ 和任意有界可测函数 $f$，平均值 $\frac1N \sum_{n=1}^N f(T^{s_n}x)$ 在 $L^2$ 范数下收敛，则称该序列对均值遍历定理是好的。我们构造了一个对均值遍历定理是好的序列 $(s_n)$，但序列 $(s_n^2)$ 却不是。此外，我们证明，对任意坏指数集合 $B$，存在一个序列 $(s_n)$，使得 $(s_n^k)$ 对均值遍历定理是好的当且仅当 $k$ 不在 $B$ 中。然后我们将此结果推广到多重遍历平均。我们还证明了关于单个遍历平均逐点收敛的一个类似结果。