通过伸缩变换实现 $L^r$ 最优量化器的通用 $L^s$ 速率最优性

设 $r, s>0$。对于 $\mathbb{R}^d$ 上给定的概率测度 $P$，设 $(\alpha_n)_{n \geq 1}$ 为一列（渐近）$L^r(P)$-最优量化器。对于所有 $\mu \in \mathbb{R}^d$ 和每个 $\theta >0$，定义序列 $(\alpha_n^{\theta, \mu})_{n \geq 1}$ 如下：$\forall n \geq 1, \alpha_n^{\theta, \mu} = \mu + \theta(\alpha_n - \mu) = \{\mu + \theta(a- \mu), a \in \alpha_n \}$。在本文中，我们关注由序列 $(\alpha_n^{\theta, \mu})_{n \geq 1}$ 引起的 $L^s$-量化误差的渐近行为。我们证明，对于一大类分布，序列 $(\alpha_n^{\theta, \mu})_{n \geq 1}$ 是 $L^s$-速率最优的。对于高斯分布和指数分布，我们展示了如何选择参数 $\theta$，使得 $(\alpha_n^{\theta, \mu})_{n \geq 1}$ 满足经验测度定理并可能具有渐近 $L^s$-最优性。