整数幂超和的一个行列式公式
数论
2022-08-05 v3
摘要
对于非负整数r和m，令S_m^{(r)}(n)表示对前n个正整数的m次幂的r重求和(或超和)，初始条件为S_m^{(0)}(n)=n^m。本文我们导出S_m^{(r)}(n)的一个新行列式公式。具体地，我们证明对所有整数r≥0和m≥1，S_m^{(r)}(n)正比于S_1^{(r)}(n)乘以一个阶为m-1的下Hessenberg矩阵的行列式，该矩阵涉及伯努利数和变量N_r=n+r/2。此外，每当r≥1时，对该行列式求值给出S_m^{(r)}(n)为S_1^{(r)}(n)乘以N_r的一个偶或奇多项式，次数为m-1，取决于m为奇数或偶数。
关键词
引用
@article{arxiv.2207.14188,
title = {A determinantal formula for the hyper-sums of powers of integers},
author = {José L. Cereceda},
journal= {arXiv preprint arXiv:2207.14188},
year = {2022}
}
备注
13 pages