通过微分求整数幂和

对整数 $k \geq 0$，令 $S_k$ 表示前 $n$ 个正整数 $1^k + 2^k + \cdots + n^k$ 的 $k$ 次幂之和。对任意给定 $k$，幂和 $S_k$ 原则上可通过对相关的指数生成函数 $\sum_{k=0}^{\infty}S_k x^k/k!$ 微分 $k$ 次（关于 $x$），然后取所得微分函数在 $x$ 趋于 $0$ 时的极限来确定。在本文中，我们利用此方法建立两个看似新颖的递推关系，其一涉及偶指标幂和 $S_2, S_4,\ldots, S_{2k}$，另一涉及奇指标幂和 $S_{1}, S_3, \ldots, S_{2k-1}$，两个递推关系都显式依赖于参数 $N = n + \frac{1}{2}$。由此，我们得到一个 $k$ 阶行列式公式，以 Faulhaber 形式给出 $S_{2k}$ [$S_{2k-1}$]，即作为 $N$ 的奇 [偶] 多项式。作为副产品，我们发现了一个关于伯努利数 $B_{2k}$ 的新行列式公式。此外，我们证明 $S_{2k}$ 和 $S_{2k-1}$ 可通过取第二类切比雪夫多项式的相应高阶导数获得。