整数的幂和与序列 A304330

对于整数 $k \geq 1$，令 $S_k(n)$ 表示前 $n$ 个正整数的 $k$ 次幂之和。在本文中，我们推导出一个新公式，将 $2^{2k}$ 倍的 $S_{2k}(n)$ 表示为包含整数序列 A304330 第 $k$ 行数字的 $k$ 项之和，该序列与第二类偶数指标中心阶乘数密切相关。此外，我们给出了 Knuth 关于 $S_{2k}(n)$ 公式的另一证明，并证明其同样可用 A304330 表示。而且，我们得到了 $2^{2k-1}S_{2k-1}(n)$ 的相应公式，并确定了 $S_{2k}(n)$ 和 $S_{2k+1}(n)$ 用 A304330 和第一类 Legendre-Stirling 数表示的 Faulhaber 形式。