涉及两个连续幂和的模 $n^3$ 同余式及其应用

对于各种正整数 $k$，前 $n$ 个正整数的 $k$ 次幂之和 $S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$ 已成为整个数学中最流行的和式之一。在本注记中，我们证明对于每个 $k\ge 2$，有 $$2S_{2k+1}(n)- (2k+1)nS_{2k}(n)\equiv \begin{cases} 0\,(\bmod{\,n^3}) & \text{若 } k \text{ 为偶数或 } n \text{ 为奇数或 } n\equiv 0\,(\bmod{\,4}) \\ \frac{n^3}{2}\,(\bmod{\,n^3}) & \text{若 } k \text{ 为奇数且 } n\equiv 2\,(\bmod{\,4}). \end{cases}$$ 上述同余式使我们能够陈述 Giuga 猜想的一个等价形式。此外，我们证明只要 $n\ge 5$ 是满足 $n-1\nmid 2k-2$ 的素数，第一个同余式在模 $n^4$ 下成立。特别地，该同余式引出了关于 Wolstenholme 素数的猜想。我们还提出了几个类似 Giuga-Agoh 的猜想。进一步，我们建立了两个涉及幂和 $S_{2i}(n)$（其中 $i=0,1,...,k$）的二项式型和式的模 $n^3$ 同余式。此外，利用上述同余式模 $n^2$ 的简化形式，我们获得了奇次幂和的 Carlitz-von Staudt 结果的推广。