关于线性递推序列多项式恒等式次数的一个上界

令 $(F_n)_{n\geq 0}$ 为斐波那契序列，由 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$（$n\geq 0$）给出，其中 $F_0=0$ 且 $F_1=1$。存在若干涉及该序列的有趣恒等式，如对所有 $n\geq 0$ 有 $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$。受此朴素恒等式启发，Chaves、Marques 与 Togb\'e 于 2012 年证明：若 $(G_m)_m$ 为线性递推序列（在弱假设下）且对无穷多个正整数 $n$ 有 $G_n^s+\cdots +G_{n+k}^s\in (G_m)_m$，则 $s$ 被一个仅依赖于 $k$ 与 $G_m$ 参数的可有效计算常数所界。本文推广该结果，特别证明：若 $(G_m)_m$ 与 $(H_m)_m$ 为线性递推序列（同样在弱假设下），$R(z) \in \mathbb{C}[z]$，且对无穷多个正整数 $n$ 有 $\epsilon_0R(G_n)+\epsilon_1R(G_{n+1})+\cdots +\epsilon_{k-1}R(G_{n+k-1})+R(G_{n+k})$ 属于 $(H_m)_m$，则 $R(z)$ 的次数被一个仅依赖于 $\epsilon_i$ 的上下界与 $G_m$ 参数（但令人惊讶地不依赖于 $k$）的有效可计算常数所界。