基于 Gelin-Cesàro 恒等式的五次 Fibonacci 和

设 $F_k$ 为第 $k$ 个 Fibonacci 数。设 $(G_k)_{k\in\mathbb Z}$ 为任意满足 Fibonacci 数递推关系的序列。我们利用 Gerin-Cesàro 恒等式与 Brousseau 的一个恒等式来求值以下和式：$\sum_{j=1}^n{(\pm 1)^{j - 1}G_j^5}$、$\sum_{j = 1}^n {G_{j - 1} G_{j} G_{j + 1} G_{j + 2} G_{j + m} }$、$\sum_{j = 1}^n {(-F_{m - 3})^{n - j} ( F_{m + 2} )^j G_{j - 1} G_{j} G_{j + 1} G_{j + 2} G_{j + m} }$，以及 $\sum_{j = 1}^n {(-F_{m + 2})^{n - 2}F_{m - 3}^jG_{j + m} \left( {G_{j - 2} G_{j - 1} G_j G_{j + 1} G_{j + 2} G_{j + 3} } \right)^{ - 1} }$。在其他结果中，我们求值了五个连续类 Fibonacci 数之积的和与交错和，即 $\sum_{j = 1}^n {\left( { \pm 1} \right)^{j - 1} G_j G_{j + 1} G_{j + 2} G_{j + 3} G_{j + 4} }$。