关于满足线性递归的有限序列

对于任意域 k 及任意整数 m,n 满足 0 <= 2m <= n+1，令 W_n 为序列 (x_0,...,x_n) 构成的 k-向量空间，并令 H_m 为 W_n 中满足 m 次线性递归的序列组成的子集，即存在 a_0,...,a_m ∈ k 不全为零，使得对每个 j=0,1,...,n-m 均有 sum(a_i x_{i+j}, i=0..m) = 0。等价地，H_m 是满足如下条件的 (x_0,...,x_n) 的集合：其 (m+1)×(n-m+1) 矩阵（(i,j) 元为 x_{i+j}，i=0..m, j=0..n-m）的秩至多 m。我们使用初等线性与多项式代数研究这些集合 H_m。特别地，当 k 为含 q 个元素的有限域时，我们将 H_m 的特征函数写成 W_n 中维数为 m 与 m+1 的线性子空间的特征函数的线性组合。我们推导出该特征函数的离散傅里叶变换（DFT）的公式，并得到若干推论。例如，若一个阶为 m+1 的方阵 Hankel 矩阵的 2m+1 个元独立地选自 k 上固定但不必均匀的分布 mu，则当 m→∞ 时，只要 mu 的 DFT 的 l_1 范数小于 sqrt(q)，该矩阵奇异的概率趋于 1/q。若 q 为平方数，此界 sqrt(q) 是最佳可能的。