模 p 的 k 次线性递归与数域

k 次线性递归由在整向量 $(t_1,...,t_k)$ 处求值广义 Fibonacci 多项式序列 $\{F_{k,n}(t_1,...,t_k)\}$（等权重的完全对称多项式的反射）所确定。若 $F_{k,n}(t_1,...,t_k) = f_n$，则 $$f_n - \sum_{j=1}^k t_j f_{n-j} = 0,$$ 且 $\{f_n\}$ 是一个 k 次线性递归。一方面，讨论了此类序列模素数 $p$ 的周期性性质，并证明其关联到某些代数数域的素数结构；例如，周期的算术性质被证明可刻画扩张域中素数的分歧。另一方面，与数域相关的半局部环的结构被证明完全由 Schur-hook 多项式决定。关键词：对称多项式，Schur 多项式，线性递归，数域。